1182 Около правильного треугольника описана окружность радиу- са R. Докажите, что R=2r, где г - радиус окружности, впи- санной в этот треугольник.

Пусть сторона правильного треугольника равна a, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности около правильного треугольника $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$.

Выразим сторону а через радиус описанной окружности $$a = R\sqrt{3}$$.

Подставим в формулу радиуса вписанной окружности: $$r = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2}$$.

Отсюда следует, что $$R = 2r$$, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано