1187 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треуголь- ника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

а) Через радиус вписанной окружности.

Сторона правильного треугольника $$a = 2\sqrt{3}r$$.

Периметр правильного треугольника $$P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}r = 6\sqrt{3}r$$.

Площадь правильного треугольника $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3}r)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \cdot 3 r^2 = 3\sqrt{3}r^2$$.

б) Через радиус описанной окружности.

Сторона правильного треугольника $$a = R\sqrt{3}$$.

Периметр правильного треугольника $$P = 3a = 3 \cdot R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}R$$.

Площадь правильного треугольника $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$.

Ответ: а) $$a = 2\sqrt{3}r$$, $$P = 6\sqrt{3}r$$, $$S = 3\sqrt{3}r^2$$; б) $$a = R\sqrt{3}$$, $$P = 3\sqrt{3}R$$, $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$