518. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD = 25 см, BC = 7 см. Диагонали AC и BD перпендикулярны боковым сторонам AB и CD. Опустим высоты BH и CK на основание AD. Тогда HK = BC = 7 см.

Так как трапеция равнобокая, AH = KD = (AD - HK) / 2 = (25 - 7) / 2 = 18 / 2 = 9 см.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем AB перпендикулярна BD, значит, треугольник ABD - прямоугольный. Также, в равнобокой трапеции диагонали равны, то есть AC = BD.

Проведем высоту BE на основание AD. Так как AC перпендикулярна AB, то AC и BE параллельны. Тогда угол DAC = углу AEB = 90 градусов. Отсюда AE = AD = 25

AB^2 = AH^2 + BH^2, BD^2 = KD^2 + BK^2

BK = BH

Опустим высоту CH на основание AD. Рассмотрим треугольник ABH. AB^2 = AH^2 + BH^2, AH = (AD - BC) / 2 = (25 - 7) / 2 = 9

Т.к. диагонали перпендикулярны боковой стороне, диагонали перпендикулярны боковой стороне в точке B, угол ABC + BAD = 90

Воспользуемся подобием треугольников. Высота трапеции равна полусумме оснований h = (25 + 7) / 2 = 16. AH = (25 - 7) / 2 = 9. Боковая сторона AB = sqrt (16^2 + 9^2) = sqrt(256 + 81) = sqrt(337)

Периметр трапеции P = AD + BC + 2AB = 25 + 7 + 2sqrt(337) = 32 + 2sqrt(337)

Средняя линия трапеции равна (7 + 25) / 2 = 16. Высота трапеции равна средней линии. Высота является полусуммой оснований. BH^2+AH^2 = AB^2.

Ответ: Периметр равнобокой трапеции равен $$32 + 2\sqrt{337}$$ см.