516. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит её на отрезки, относящиеся как 1 : 4. Найдите диагонали ромба.

Пусть ABCD - ромб, O - точка пересечения диагоналей, OK - перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону AB, OK = 2 см. Пусть AK = x, KB = 4x, тогда AB = AK + KB = x + 4x = 5x.

В ромбе диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где AO = \(\frac{1}{2}AC\), BO = \(\frac{1}{2}BD\), AB - сторона ромба.

Так как OK - высота в треугольнике AOB, то площадь треугольника AOB можно найти двумя способами: $$S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot OK = \frac{1}{2} AO \cdot BO$$.

Подставляем значения: $$AB \cdot OK = AO \cdot BO$$, то есть $$5x \cdot 2 = \frac{1}{2}AC \cdot \frac{1}{2}BD$$, следовательно, $$10x = \frac{1}{4}AC \cdot BD$$.

Используем теорему Пифагора для треугольника AOK: $$AO^2 = AK^2 + OK^2$$, то есть $$(\frac{1}{2}AC)^2 = x^2 + 2^2 = x^2 + 4$$, следовательно, $$\frac{1}{4}AC^2 = x^2 + 4$$, т.е. $$AC^2 = 4(x^2+4)$$.

Используем теорему Пифагора для треугольника BOK: $$BO^2 = KB^2 + OK^2$$, то есть $$(\frac{1}{2}BD)^2 = (4x)^2 + 2^2 = 16x^2 + 4$$, следовательно, $$\frac{1}{4}BD^2 = 16x^2 + 4$$, т.е. $$BD^2 = 4(16x^2+4)$$.

Используем теорему Пифагора для треугольника AOB: $$AB^2 = AO^2 + BO^2$$, то есть $$(5x)^2 = (x^2 + 4) + (16x^2 + 4)$$, следовательно, $$25x^2 = 17x^2 + 8$$, т.е. $$8x^2 = 8$$, то есть $$x^2=1$$, значит $$x=1 \text{ см}$$.

Итак, AB = 5x = 5 \text{ см}, AK = 1 \text{ см}, KB = 4 \text{ см}.

$$\frac{1}{4}AC^2 = x^2 + 4 = 1 + 4 = 5$$, значит, $$AC^2=20$$, отсюда $$AC = 2\sqrt{5} \text{ см}$$.

$$\frac{1}{4}BD^2 = 16x^2 + 4 = 16 + 4 = 20$$, значит, $$BD^2=80$$, отсюда $$BD = 4\sqrt{5} \text{ см}$$.

Ответ: Диагонали ромба равны $$2\sqrt{5}$$ см и $$4\sqrt{5}$$ см.