Найдите первообразную F(x) функции $$f(x) = 12x^3 + 4x^2 + 7$$

Решение:

Чтобы найти первообразную $$F(x)$$ функции $$f(x) = 12x^3 + 4x^2 + 7$$, мы проинтегрируем функцию. Используем правило интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.

Интегрируем каждый член функции $$f(x)$$:

1. Для $$12x^3$$: $$\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$$.
2. Для $$4x^2$$: $$\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$$.
3. Для $$7$$: $$\int 7 dx = 7x$$.

Объединяя эти части, получаем первообразную $$F(x)$$:

$$F(x) = 3x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 7x + C$$, где $$C$$ — константа интегрирования.

Ответ: $$F(x) = 3x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 7x + C$$.