5. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ее четвертый член меньше шестого на 64, а пятый больше третьего на 192.

Шаг 1: Запишем условия задачи в виде уравнений: \[ b_6 = b_4 + 64 \] \[ b_5 = b_3 + 192 \] Выразим члены прогрессии через первый член \( b_1 \) и знаменатель q: \[ b_6 = b_1 \cdot q^5 \] \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \] \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \] \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \] Шаг 2: Подставим выражения в уравнения: \[ b_1q^5 = b_1q^3 + 64 \] \[ b_1q^4 = b_1q^2 + 192 \] Шаг 3: Выразим \(b_1\) из второго уравнения: \[ b_1q^4 - b_1q^2 = 192 \] \[ b_1(q^4 - q^2) = 192 \] \[ b_1 = \frac{192}{q^4 - q^2} \] Шаг 4: Подставим выражение для \(b_1\) в первое уравнение: \[ \frac{192}{q^4 - q^2} \cdot q^5 = \frac{192}{q^4 - q^2} \cdot q^3 + 64 \] \[ \frac{192q^5}{q^4 - q^2} = \frac{192q^3}{q^4 - q^2} + 64 \] \[ \frac{192q^5 - 192q^3}{q^4 - q^2} = 64 \] \[ \frac{192q^3(q^2 - 1)}{q^2(q^2 - 1)} = 64 \] \[ \frac{192q^3}{q^2} = 64 \] \[ 192q = 64q^2 \] \[ 64q^2 - 192q = 0 \] \[ q(64q - 192) = 0 \] Т.к. q не может быть равно 0, то: \[ 64q = 192 \] \[ q = 3 \] Шаг 5: Найдем первый член \(b_1\): \[ b_1 = \frac{192}{q^4 - q^2} = \frac{192}{3^4 - 3^2} = \frac{192}{81 - 9} = \frac{192}{72} = \frac{8}{3} \]