3. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 12 см и 22 см, а боковое ребро - 13 см.

Пусть $$a_1$$ и $$a_2$$ – стороны нижнего и верхнего основания, $$l$$ – боковое ребро. Апофема боковой грани ($$h$$) является высотой трапеции, образованной боковой гранью. Сначала найдем проекцию бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра равна проекции разности сторон оснований на высоту боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией и высотой боковой грани. Проекция разности сторон оснований на плоскость основания равна $$\frac{a_2 - a_1}{2} = \frac{22 - 12}{2} = 5$$ см. Высота боковой грани (апофема): $$h = \sqrt{l^2 - (\frac{a_2 - a_1}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot h = \frac{1}{2} (3 \cdot 12 + 3 \cdot 22) \cdot 12 = 6 (36 + 66) = 6 \cdot 102 = 612$$ см² Ответ: 612 см²