1116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольни- ка со сторонами а и 6; 0) прямоугольного треугольника с кате- том а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треуголь- ника с основанием а и высотой п. проведенной к основанию.

Ответ: а) \(\frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}\); б) \(\frac{\pi a^2}{4 sin^2 \alpha}\); в) \(\frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}\)

Разбираемся:

1. Пункт а: Прямоугольник со сторонами a и b

• Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
• Диагональ прямоугольника: \[d = \sqrt{a^2 + b^2}\]
• Радиус описанной окружности: \[R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\]
• Площадь круга: \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2})^2 = \frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}\]

2. Пункт б: Прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом \(\alpha\)

• Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.
• Противолежащий катет: a
• Выразим гипотенузу через катет и угол: \[sin \alpha = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{sin \alpha}\]
• Радиус описанной окружности: \[R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2 sin \alpha}\]
• Площадь круга: \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{a}{2 sin \alpha})^2 = \frac{\pi a^2}{4 sin^2 \alpha}\]

3. Пункт в: Равнобедренный треугольник с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.

• Выразим радиус описанной окружности через стороны треугольника и его площадь.
• Площадь равнобедренного треугольника: \[S = \frac{1}{2} a h\]
• Боковая сторона равнобедренного треугольника: \[b = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2} = \frac{\sqrt{a^2 + 4h^2}}{2}\]
• Радиус описанной окружности: \[R = \frac{abc}{4S} = \frac{b^2 a}{4 \frac{1}{2} a h} = \frac{b^2}{2h} = \frac{(\frac{\sqrt{a^2 + 4h^2}}{2})^2}{2h} = \frac{\frac{a^2 + 4h^2}{4}}{2h} = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}\]
• Площадь круга: \[S = \pi R^2 = \pi (\frac{a^2 + 4h^2}{8h})^2 = \frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}\]

Ответ: а) \(\frac{\pi(a^2 + b^2)}{4}\); б) \(\frac{\pi a^2}{4 sin^2 \alpha}\); в) \(\frac{\pi(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}\)