23. Найдите площадь остроугольного равнобедренного треугольника с основанием, равным 32, если известно, что радиус описанной около него окружности равен 20.

Решение: 1. Пусть $$a$$ - основание треугольника, $$b$$ - боковая сторона, $$R$$ - радиус описанной окружности. 2. Площадь треугольника можно выразить как $$S = \frac{ab^2}{4R}$$. 3. Также можно выразить площадь как $$S = \frac{1}{2} a h$$, где $$h$$ - высота, опущенная на основание. 4. Известно, что $$a = 32$$ и $$R = 20$$. Необходимо найти $$b$$ или $$h$$. 5. Найдем высоту, опущенную на основание. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Высота, опущенная на основание, является также серединным перпендикуляром к основанию, так как треугольник равнобедренный. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и радиусом описанной окружности. Пусть $$x$$ - расстояние от середины основания до центра описанной окружности. Тогда $$h = R + x$$ или $$h = R - x$$. 7. По теореме Пифагора, $$R^2 = (a/2)^2 + x^2$$, $$20^2 = 16^2 + x^2$$, $$400 = 256 + x^2$$, $$x^2 = 144$$, $$x = 12$$. 8. Тогда $$h = R + x = 20 + 12 = 32$$ или $$h = R - x = 20 - 12 = 8$$. 9. Так как треугольник остроугольный, высота должна быть больше половины основания, то есть $$h > 16$$. Значит, $$h = 32$$. 10. Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 32 = 512$$. Ответ: 512