22. Постройте график функции $$y = \frac{x^4-10x^2+9}{(x+3)(x-1)}$$. Определите, при каких значениях $$p$$ прямая $$y = p$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение: 1. Разложим числитель на множители: $$x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$$. 2. Запишем функцию в виде: $$y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x+3)(x-1)}$$. 3. Сократим дробь, учитывая, что $$x
eq -3$$ и $$x
eq 1$$: $$y = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$$. 4. Таким образом, графиком функции является парабола $$y = x^2 - 2x - 3$$ с выколотыми точками при $$x = -3$$ и $$x = 1$$. 5. Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$$. $$y_в = 1 - 2 - 3 = -4$$. Но $$x=1$$ выколотая точка, поэтому рассмотрим значения $$x$$ близкие к 1. Найдем значение $$y$$ при $$x = -3$$: $$y(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$$. Точка $$(-3; 12)$$ выколота. Найдем значение $$y$$ при $$x = 1$$: $$y(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$. Но в этой точке $$x=1$$, поэтому тут дырка. 6. Прямая $$y = p$$ имеет ровно одну общую точку с графиком, если она проходит через вершину параболы (кроме выколотой точки) или через выколотую точку. В нашем случае, вершина параболы находится в точке (1,-4), но так как точка выколота в ней нет решения. Горизонтальная прямая $$y=-4$$ не пересекает график в одной точке. Однако мы нашли еще выколотую точку (-3,12), прямая $$y=12$$ пересекает график в одной точке. 7. Осталось только найти координаты пересечения $$y=p$$ с $$x^2-2x-3$$. $$x^2-2x-3=p$$ имеет 1 решение, если дискриминант $$=0$$. $$x^2-2x-(3+p)=0$$. $$D=4+4(3+p)=0$$. $$1+3+p=0$$, $$p=-4$$. Ответ: $$p = 12$$