25. Окружность проходит через вершины $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ и пересекает его стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$K$$ и $$E$$ соответственно. Отрезки $$AE$$ и $$CK$$ перпендикулярны. Найдите $$\angle ABC$$, если $$\angle KCB = 40^\circ$$.

Решение: 1. Четырехугольник $$AKEC$$ вписан в окружность, следовательно, сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$: $$\angle AEC + \angle AKC = 180^\circ$$. 2. По условию, отрезки $$AE$$ и $$CK$$ перпендикулярны, то есть $$\angle AKC = 90^\circ$$ и $$\angle AEC = 90^\circ$$. 3. Рассмотрим треугольник $$KBC$$. $$\angle KCB = 40^\circ$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, следовательно, $$\angle KBC + \angle BCK + \angle BKA = 180^\circ$$. 4. $$\angle BKA = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$. 5. $$\angle ABC + 40^\circ = 90^\circ - \angle EKC $$ 6. Найдем угол $$\angle EKC$$. $$angle EKC = \angle EAK $$ как вписанные опирающиеся на одну дугу. С другой стороны $$\angle EAK = 90 - \angle AKE$$, но $$\angle AKE = \angle CKE=40$$, и $$\angle EAK = 90-40=50$$ В результате $$\angle ABC+50+40=90$$ и $$\angle ABC =50$$ Ответ: 50