3. Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см.

1. Связь между радиусом описанной окружности и стороной правильного треугольника: $$ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} $$, где $$ a $$ - сторона треугольника. 2. Выразим сторону треугольника: $$ a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3} $$. 3. Подставим значение радиуса: $$ a = 5\sqrt{3} \text{ см} $$. 4. Формула площади правильного треугольника: $$ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$. 5. Подставим значение стороны: $$ S = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \approx \frac{75 \cdot 1.73}{4} \approx \frac{129.75}{4} \approx 32.44 \text{ см}^2 $$. Ответ: $$ \frac{75\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 $$ ≈ 32.44 см^2.