4. Радиус окружности, вписанной в правильный 6-угольник, равен 12 3 см. Найдите сторону 6-угольника и его площадь.

1. Связь между радиусом вписанной окружности и стороной правильного шестиугольника: $$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$, где $$ a $$ - сторона шестиугольника. 2. Выразим сторону шестиугольника: $$ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} $$. 3. Подставим значение радиуса: $$ a = \frac{2 \cdot 12.3}{\sqrt{3}} = \frac{24.6}{\sqrt{3}} = \frac{24.6\sqrt{3}}{3} = 8.2\sqrt{3} \approx 8.2 \cdot 1.73 \approx 14.19 \text{ см} $$. 4. Площадь правильного шестиугольника: $$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 $$. 5. Подставим значение стороны: $$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (8.2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8.2^2 \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 67.24 \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 201.72 = 302.58\sqrt{3} \approx 302.58 \cdot 1.73 \approx 523.46 \text{ см}^2 $$. Ответ: Сторона 6-угольника $$ 8.2\sqrt{3} $$ см ≈ 14.19 см, площадь $$302.58\sqrt{3} $$ см^2 ≈ 523.46 см^2.