5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 14 см, диагональ — 13 см. Найдите площадь трапеции.

5. Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями $$a = 10$$ см и $$b = 14$$ см, и диагональю $$d = 13$$ см. Нужно найти площадь трапеции.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Так как трапеция равнобедренная, основания высот отстоят от вершин большего основания на одинаковое расстояние. Обозначим это расстояние за $$x$$. Тогда:

$$x = \frac{b - a}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $$h$$, диагональю $$d$$ и отрезком, равным сумме меньшего основания и $$x$$. То есть: $$10+2=12$$. По теореме Пифагора:

$$h^2 + (a + x)^2 = d^2$$

$$h^2 + 12^2 = 13^2$$

$$h^2 + 144 = 169$$

$$h^2 = 169 - 144 = 25$$

$$h = \sqrt{25} = 5$$ см

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 14}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2$$

Ответ: 60 см²