598 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна ь; б) основание равно а.

а) Дано: боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен α.

Обозначим:

• a – основание треугольника,
• h – высота, проведённая к основанию.

Выразим высоту и основание через боковую сторону и угол при основании:

$$\frac{a}{2} = b \cdot cos \alpha \Rightarrow a = 2b \cdot cos \alpha$$.

$$h = b \cdot sin \alpha$$.

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2b \cdot cos \alpha \cdot b \cdot sin \alpha = b^2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{1}{2} b^2 \cdot sin 2 \alpha$$.

б) Дано: основание равнобедренного треугольника равно a, угол при основании равен α.

Обозначим:

• b – боковая сторона треугольника,
• h – высота, проведённая к основанию.

Выразим высоту и боковую сторону через основание и угол при основании:

$$\frac{a}{2} = b \cdot cos \alpha \Rightarrow b = \frac{a}{2 cos \alpha}$$.

$$h = b \cdot sin \alpha = \frac{a}{2 cos \alpha} \cdot sin \alpha = \frac{a \cdot tg \alpha}{2}$$.

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \cdot tg \alpha}{2} = \frac{a^2 \cdot tg \alpha}{4}$$.

Ответ: а) $$S = \frac{1}{2} b^2 \cdot sin 2 \alpha$$; б) $$S = \frac{a^2 \cdot tg \alpha}{4}$$.