4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 50 см, а разность диагоналей 20 см.

Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба, причем $$d_1 - d_2 = 20$$ см. Пусть $$a$$ - сторона ромба, $$a = 50$$ см.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому, половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.

Применим теорему Пифагора:

$$ (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 $$

Умножим обе части уравнения на 4:

$$ d_1^2 + d_2^2 = 4a^2 $$

Выразим $$d_1$$ из условия $$d_1 - d_2 = 20$$:

$$ d_1 = d_2 + 20 $$

Подставим в уравнение:

$$ (d_2 + 20)^2 + d_2^2 = 4 \cdot 50^2 $$ $$ d_2^2 + 40d_2 + 400 + d_2^2 = 10000 $$ $$ 2d_2^2 + 40d_2 - 9600 = 0 $$ $$ d_2^2 + 20d_2 - 4800 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600 $$ $$ d_{2_1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2} $$ $$ d_{2_1} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ см} $$ $$ d_{2_2} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \text{ (не подходит, так как диагональ не может быть отрицательной)} $$

Найдем $$d_1$$:

$$ d_1 = d_2 + 20 = 60 + 20 = 80 \text{ см} $$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 40 \cdot 60 = 2400 \text{ см}^2 $$

Ответ: 2400 см²