593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C=∠D = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9/2 см.

a) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Трапеция равнобедренная. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Получим две равные отрезки на основании CD, каждый длиной (20 - 10) / 2 = 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком на основании CD. Высота равна: $$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AB + CD}{2} h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см. Трапеция равнобедренная. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Так как углы при основании равны 60°, то треугольники, образованные высотой, боковой стороной и отрезком на основании CD, являются прямоугольными с углом 60°. Высота равна: $$h = BC \cdot \sin{60^\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$. Отрезок на основании CD равен: $$x = BC \cdot \cos{60^\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$$. Основание CD равно: $$CD = AB + 2x = 8 + 2 \cdot 4 = 16 \text{ см}$$. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AB + CD}{2} h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

в) ∠C=∠D = 45°, АВ = 6 см, ВС = $$9\sqrt{2}$$ см. Трапеция равнобедренная. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Так как углы при основании равны 45°, то треугольники, образованные высотой, боковой стороной и отрезком на основании CD, являются прямоугольными с углом 45°. Высота равна: $$h = BC \cdot \sin{45^\circ} = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$. Отрезок на основании CD равен: $$x = BC \cdot \cos{45^\circ} = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$. Основание CD равно: $$CD = AB + 2x = 6 + 2 \cdot 9 = 24 \text{ см}$$. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AB + CD}{2} h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: а) 180 см², б) $$48\sqrt{3}$$ см², в) 135 см²