4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $$y = x^3 - 4x^2 + 5x - 1$$

Решение: 1) Найдем производную функции: $$y' = (x^3 - 4x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 8x + 5$$ 2) Найдем точки, где производная равна нулю: $$3x^2 - 8x + 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение: D = $$(-8)^2 - 4 * 3 * 5 = 64 - 60 = 4$$ $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 * 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ 3) Определим знаки производной на промежутках: $$(-\infty; 1)$$: $$y'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 5 = 5 > 0$$ (функция возрастает) $$(1; \frac{5}{3})$$: $$y'(\frac{4}{3}) = 3(\frac{4}{3})^2 - 8(\frac{4}{3}) + 5 = \frac{16}{3} - \frac{32}{3} + \frac{15}{3} = \frac{-1}{3} < 0$$ (функция убывает) $$(\frac{5}{3}; +\infty)$$: $$y'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 5 = 12 - 16 + 5 = 1 > 0$$ (функция возрастает) Ответ: Функция возрастает на промежутках $$(-\infty; 1)$$ и $$(\frac{5}{3}; +\infty)$$. Функция убывает на промежутке $$(1; \frac{5}{3})$$.