1. Найти производную функции: $$y = 2x^4 + \sqrt{x}$$ $$y = \frac{3-2x}{x-5}$$ $$g(x) = x \cos x$$ $$h(x) = (4x-3)^{10}$$

Решение: 1) $$y = 2x^4 + \sqrt{x} = 2x^4 + x^{\frac{1}{2}}$$ Применяем правило дифференцирования: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ $$y' = (2x^4)' + (x^{\frac{1}{2}})' = 2 * 4x^3 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 8x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ Ответ: $$y' = 8x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ 2) $$y = \frac{3-2x}{x-5}$$ Применяем правило дифференцирования частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ $$y' = \frac{(3-2x)'(x-5) - (3-2x)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{-2(x-5) - (3-2x)*1}{(x-5)^2} = \frac{-2x+10-3+2x}{(x-5)^2} = \frac{7}{(x-5)^2}$$ Ответ: $$y' = \frac{7}{(x-5)^2}$$ 3) $$g(x) = x \cos x$$ Применяем правило дифференцирования произведения: $$(uv)' = u'v + uv'$$ $$g'(x) = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 * \cos x + x (-\sin x) = \cos x - x \sin x$$ Ответ: $$g'(x) = \cos x - x \sin x$$ 4) $$h(x) = (4x-3)^{10}$$ Применяем правило дифференцирования сложной функции: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)$$ $$h'(x) = 10(4x-3)^9 * (4x-3)' = 10(4x-3)^9 * 4 = 40(4x-3)^9$$ Ответ: $$h'(x) = 40(4x-3)^9$$