5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника, а $$S$$ - его площадь. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр. $$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ $$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 9} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 = 126$$ Теперь найдем радиус: $$R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{504} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6}$$ Ответ: $$\frac{65}{6}$$ см