4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см.

Пусть одна сторона равна $$x$$, тогда другая сторона равна $$x + 8$$. Третья сторона равна 28 см. Угол между сторонами $$x$$ и $$x+8$$ равен $$120^\circ$$. Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти $$x$$: $$28^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2 \cdot x \cdot (x+8) \cdot cos(120^\circ)$$ Зная, что $$cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$, получим: $$784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x(x+8)(-\frac{1}{2})$$ $$784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$$ $$3x^2 + 24x + 64 - 784 = 0$$ $$3x^2 + 24x - 720 = 0$$ $$x^2 + 8x - 240 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$$ $$\sqrt{D} = 32$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, то $$x = 12$$ см. Тогда вторая сторона $$x+8 = 12 + 8 = 20$$ см. Периметр треугольника: $$P = 12 + 20 + 28 = 60$$ см. Ответ: 60 см