4. Найдите решение неравенства \frac{3}{x+1} \le \frac{5}{x+2}.

Решим неравенство:

$$\frac{3}{x+1} \le \frac{5}{x+2}$$ $$\frac{3}{x+1} - \frac{5}{x+2} \le 0$$ $$\frac{3(x+2) - 5(x+1)}{(x+1)(x+2)} \le 0$$ $$\frac{3x+6 - 5x-5}{(x+1)(x+2)} \le 0$$ $$\frac{-2x+1}{(x+1)(x+2)} \le 0$$ $$\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} \ge 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$ $$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ $$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$$

Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +           -            +             -
---------------------------------------------------------------------
   -2          -1           1/2

Выберем интервалы, где функция больше или равна нулю:

$$x \in (-2; -1) \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-2; -1) \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$$.