Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 48 см и 20 см.

Решение:

Пусть диагонали ромба равны \( d_1 = 48 \) см и \( d_2 = 20 \) см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \), а гипотенуза — сторона ромба \( a \).

\( \frac{d_1}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) см.

\( \frac{d_2}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) см.

По теореме Пифагора, сторона ромба \( a \) равна:

\[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \text{ см} \]

Площадь ромба вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 20 = 24 \cdot 20 = 480 \text{ см}^2 \]

Ответ: сторона ромба 26 см, площадь ромба 480 см²