В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК, которая делит сторону ВС на отрезки равные 7см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

По условию, биссектриса АК делит сторону BC на отрезки 7 см и 3 см. Возможны два случая:

Случай 1: Точка K лежит между B и C, и BK = 7 см, KC = 3 см.

В параллелограмме ABCD:

• AB || DC, AD || BC.
• AB = DC, AD = BC.
• Биссектриса АК делит угол A пополам.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как AD || BC, то AK — секущая. Следовательно, \( \angle BAK = \angle AKB \) (как накрест лежащие углы). Поскольку АК — биссектриса, то \( \angle BAK = \angle KAD \). Таким образом, \( \angle AKB = \angle KAD = \angle BAK \).

Треугольник ABK равнобедренный с основанием AK. Значит, AB = BK. По условию, BK = 7 см. Следовательно, AB = 7 см.

Сторона BC = BK + KC = 7 + 3 = 10 см.

Периметр параллелограмма ABCD равен \( P = 2(AB + BC) = 2(7 + 10) = 2 \cdot 17 = 34 \) см.

Случай 2: Точка K лежит между B и C, и BK = 3 см, KC = 7 см.

Аналогично, из равенства углов \( \angle AKB = \angle BAK \) следует, что треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK. По условию, BK = 3 см. Следовательно, AB = 3 см.

Сторона BC = BK + KC = 3 + 7 = 10 см.

Периметр параллелограмма ABCD равен \( P = 2(AB + BC) = 2(3 + 10) = 2 \cdot 13 = 26 \) см.

В условии задачи не указано, какой из отрезков является большим. Обычно точка K располагается так, что биссектриса делит большую сторону в отношении, где больший отрезок соответствует большей стороне. В параллелограмме стороны AB и BC неравны. Если AB=7, BC=10. Если AB=3, BC=10.

Примем, что биссектриса делит большую сторону BC. Если AB=7, то BC=10. Если AB=3, то BC=10.

Обычно в таких задачах предполагается, что K лежит на стороне BC. Тогда AB = BK. Если K делит BC на 7 и 3, то BC = 10. Если AB = 7, то BC = 10. Периметр = 2(7+10) = 34.

Если AB = 3, то BC = 10. Периметр = 2(3+10) = 26.

Задача некорректно сформулирована, так как не указано, какой отрезок больше. Предположим, что K делит сторону BC так, что BK = 7 и KC = 3.

Ответ: 34 см