5. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 23 дм больше другой, а диагональ прямоугольника равна 37 дм.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$x$$ дм, тогда большая сторона равна $$x + 23$$ дм. Диагональ равна 37 дм.

По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x + 23)^2 = 37^2$$

$$x^2 + x^2 + 46x + 529 = 1369$$

$$2x^2 + 46x - 840 = 0$$

$$x^2 + 23x - 420 = 0$$.

$$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 = 47^2$$.

$$x_1 = \frac{-23 + \sqrt{2209}}{2 \cdot 1} = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$x_2 = \frac{-23 - \sqrt{2209}}{2 \cdot 1} = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35$$.

Корень $$x = -35$$ не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной.

Тогда меньшая сторона равна 12 дм, большая сторона равна $$12 + 23 = 35$$ дм.

Ответ: 12 дм, 35 дм.