1116 Найдите стороны треугольника АВС, если ∠A = 45°, ∠C=30 и а высота AD равна 3 м.

Дано: треугольник АВС, $$∠A = 45°$$, $$∠C=30°$$, высота $$AD = 3$$ м.

Найти: стороны треугольника АВС.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ ABD$$. $$ AD$$ - катет, противолежащий углу $$ B$$, поэтому: $$\sin ∠B = \frac{AD}{AB}$$ Угол $$ B$$ в треугольнике $$ ABC$$ равен: $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 30° = 105°$$ Тогда: $$\sin 105° = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{AB}$$ $$\sin 105° = \sin (60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ≈ 0.9659$$ $$AB = \frac{3}{\sin 105°} = \frac{3}{0.9659} ≈ 3.106$$ м
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ ADC$$. $$ AD$$ - катет, противолежащий углу $$ C$$, поэтому: $$\sin ∠C = \frac{AD}{AC}$$ $$AC = \frac{AD}{\sin ∠C} = \frac{3}{\sin 30°} = \frac{3}{0.5} = 6$$ м
3. Используем теорему синусов для нахождения стороны BC: $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{6 \cdot \sin 45°}{\sin 105°} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.9659} = \frac{3 \sqrt{2}}{0.9659} ≈ 4.396$$ м

Ответ: $$AB ≈ 3.106$$ м, $$AC = 6$$ м, $$BC ≈ 4.396$$ м