Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Пусть дан параллелограмм ABCD, где стороны AB = CD = a, BC = AD = b, угол ∠A = α.
- Найдем диагональ BD. По теореме косинусов для треугольника ABD: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos α$$ $$BD = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos α}$$
- Найдем диагональ AC. Угол ∠B = 180° - α. По теореме косинусов для треугольника ABC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos (180° - α)$$ $$AC = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos (180° - α)} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos α}$$
- Найдем угол между диагоналями. Обозначим точку пересечения диагоналей как О. Диагонали параллелограмма делятся пополам в точке пересечения, поэтому AO = AC/2, BO = BD/2. Рассмотрим треугольник AOB. По теореме косинусов: $$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos ∠AOB$$ $$a^2 = (\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos α}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos α}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos α}}{2} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos α}}{2} \cdot \cos ∠AOB$$ $$a^2 = \frac{a^2 + b^2 + 2ab \cos α}{4} + \frac{a^2 + b^2 - 2ab \cos α}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{(a^2 + b^2 + 2ab \cos α)(a^2 + b^2 - 2ab \cos α)} \cdot \cos ∠AOB$$ $$a^2 = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{(a^2 + b^2)^2 - (2ab \cos α)^2} \cdot \cos ∠AOB$$ $$a^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 α} \cdot \cos ∠AOB$$ $$\frac{a^2 - b^2}{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 α} \cdot \cos ∠AOB$$ $$\cos ∠AOB = \frac{b^2 - a^2}{\sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 α}}$$ $$∠AOB = \arccos(\frac{b^2 - a^2}{\sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 α}})$$
Ответ: Диагонали: $$ BD = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos α}$$, $$ AC = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos α}$$. Угол между диагоналями: $$ ∠AOB = \arccos(\frac{b^2 - a^2}{\sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 α}})$$
