1115 В треугольнике АВС известно, что АС = 12 см. ∠A=75, ∠C= 60°. Найдите АВ И SABC.

Дано: треугольник АВС, $$AC = 12$$ см, $$∠A = 75°$$, $$∠C = 60°$$.

Найти: $$AB$$, $$S_{ABC}$$.

1. Найдем угол $$∠B$$: $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45°$$
2. Используем теорему синусов для нахождения стороны AB: $$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{AB}{\sin 60°} = \frac{12}{\sin 45°}$$ $$AB = \frac{12 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{6}}{2} = 6 \sqrt{6} ≈ 14.70$$
3. Найдем площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \sqrt{6} \cdot \sin 75°$$ $$S_{ABC} = 36 \sqrt{6} \cdot \sin 75° ≈ 36 \cdot 2.449 \cdot 0.9659 ≈ 85.36$$

Ответ: $$AB ≈ 14.70$$ см, $$S_{ABC} ≈ 85.36$$ кв. см