Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (b), если b₅ = 81, b₃ = 36 и q > 0.

Ответ: 211

Разбираемся:

1. Выражаем b₅ и b₃ через b₁ и q:

\[b_5 = b_1 \cdot q^4 = 81\] \[b_3 = b_1 \cdot q^2 = 36\]

2. Находим q²:

\[\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = \frac{81}{36}\] \[q^2 = \frac{81}{36} = \frac{9}{4}\]

3. Извлекаем корень, учитывая, что q > 0:

\[q = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\]

4. Находим b₁:

\[b_1 = \frac{36}{q^2} = \frac{36}{\frac{9}{4}} = 36 \cdot \frac{4}{9} = 16\]

5. Находим сумму первых пяти членов:

\[S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1}\] \[S_5 = \frac{16((\frac{3}{2})^5 - 1)}{\frac{3}{2} - 1}\] \[S_5 = \frac{16(\frac{243}{32} - 1)}{\frac{1}{2}}\] \[S_5 = 32 \cdot (\frac{243}{32} - 1)\] \[S_5 = 32 \cdot \frac{243 - 32}{32}\] \[S_5 = 211\]

Ответ: 211