606. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (хn), если: a) xn = 4n + 2; б) Xn = 2n + 3; B) xn = n - 4; г) Хр = 3n - 1.

Для решения данной задачи, нам нужно использовать формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \] где: * \( S_n \) – сумма n первых членов, * \( n \) – количество членов, * \( a_1 \) – первый член, * \( a_n \) – n-й член. Разберем каждый случай: a) \( x_n = 4n + 2 \) 1. Сумма 50 членов: * \( a_1 = 4(1) + 2 = 6 \) * \( a_{50} = 4(50) + 2 = 202 \) * \( S_{50} = \frac{50(6 + 202)}{2} = \frac{50 \cdot 208}{2} = 50 \cdot 104 = 5200 \) 2. Сумма 100 членов: * \( a_1 = 6 \) * \( a_{100} = 4(100) + 2 = 402 \) * \( S_{100} = \frac{100(6 + 402)}{2} = \frac{100 \cdot 408}{2} = 100 \cdot 204 = 20400 \) 3. Сумма n членов: * \( a_1 = 6 \) * \( a_n = 4n + 2 \) * \( S_n = \frac{n(6 + 4n + 2)}{2} = \frac{n(4n + 8)}{2} = n(2n + 4) = 2n^2 + 4n \) б) \( x_n = 2n + 3 \) 1. Сумма 50 членов: * \( a_1 = 2(1) + 3 = 5 \) * \( a_{50} = 2(50) + 3 = 103 \) * \( S_{50} = \frac{50(5 + 103)}{2} = \frac{50 \cdot 108}{2} = 50 \cdot 54 = 2700 \) 2. Сумма 100 членов: * \( a_1 = 5 \) * \( a_{100} = 2(100) + 3 = 203 \) * \( S_{100} = \frac{100(5 + 203)}{2} = \frac{100 \cdot 208}{2} = 100 \cdot 104 = 10400 \) 3. Сумма n членов: * \( a_1 = 5 \) * \( a_n = 2n + 3 \) * \( S_n = \frac{n(5 + 2n + 3)}{2} = \frac{n(2n + 8)}{2} = n(n + 4) = n^2 + 4n \) в) \( x_n = n - 4 \) 1. Сумма 50 членов: * \( a_1 = 1 - 4 = -3 \) * \( a_{50} = 50 - 4 = 46 \) * \( S_{50} = \frac{50(-3 + 46)}{2} = \frac{50 \cdot 43}{2} = 25 \cdot 43 = 1075 \) 2. Сумма 100 членов: * \( a_1 = -3 \) * \( a_{100} = 100 - 4 = 96 \) * \( S_{100} = \frac{100(-3 + 96)}{2} = \frac{100 \cdot 93}{2} = 50 \cdot 93 = 4650 \) 3. Сумма n членов: * \( a_1 = -3 \) * \( a_n = n - 4 \) * \( S_n = \frac{n(-3 + n - 4)}{2} = \frac{n(n - 7)}{2} = \frac{n^2 - 7n}{2} \) г) \( x_n = 3n - 1 \) 1. Сумма 50 членов: * \( a_1 = 3(1) - 1 = 2 \) * \( a_{50} = 3(50) - 1 = 149 \) * \( S_{50} = \frac{50(2 + 149)}{2} = \frac{50 \cdot 151}{2} = 25 \cdot 151 = 3775 \) 2. Сумма 100 членов: * \( a_1 = 2 \) * \( a_{100} = 3(100) - 1 = 299 \) * \( S_{100} = \frac{100(2 + 299)}{2} = \frac{100 \cdot 301}{2} = 50 \cdot 301 = 15050 \) 3. Сумма n членов: * \( a_1 = 2 \) * \( a_n = 3n - 1 \) * \( S_n = \frac{n(2 + 3n - 1)}{2} = \frac{n(3n + 1)}{2} = \frac{3n^2 + n}{2} \)

Ответ: a) S50 = 5200, S100 = 20400, Sn = 2n^2 + 4n; б) S50 = 2700, S100 = 10400, Sn = n^2 + 4n; в) S50 = 1075, S100 = 4650, Sn = (n^2 - 7n)/2; г) S50 = 3775, S100 = 15050, Sn = (3n^2 + n)/2

Отлично, ты хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Успехов в дальнейшем изучении математики!