575. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150; б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно; в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300; г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

Решение:

a) Необходимо найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, то есть \( 1 + 2 + 3 + ... + 150 \).

Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 1 \), \( a_n = 150 \), \( n = 150 \).

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Тогда, \( S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325 \).

б) Необходимо найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно, то есть \( 20 + 21 + 22 + ... + 120 \).

Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 20 \), \( a_n = 120 \), \( n = 120 - 20 + 1 = 101 \).

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Тогда, \( S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070 \).

в) Необходимо найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300, то есть \( 4 + 8 + 12 + ... + 300 \).

Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 4 \), \( a_n = 300 \), \( d = 4 \). Найдем \( n \).

\( a_n = a_1 + (n - 1)d \), \( 300 = 4 + (n - 1)4 \), \( 296 = (n - 1)4 \), \( n - 1 = 74 \), \( n = 75 \).

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Тогда, \( S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400 \).

г) Необходимо найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130, то есть \( 7 + 14 + 21 + ... + 126 \) (так как 130 не делится на 7, ближайшее число - 126).

Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 7 \), \( a_n = 126 \), \( d = 7 \). Найдем \( n \).

\( a_n = a_1 + (n - 1)d \), \( 126 = 7 + (n - 1)7 \), \( 119 = (n - 1)7 \), \( n - 1 = 17 \), \( n = 18 \).

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Тогда, \( S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197 \).

Ответ: а) 11325; б) 7070; в) 11400; г) 1197.