14. Найдите точки экстремума функции у = x3 - 6x² + 9x + 3 на промежутке [-; 2].

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и решить уравнение. Затем проверить, какие из полученных точек входят в заданный промежуток и исследовать знак производной на этом промежутке.

1. Найдём производную функции: $$y' = 3x^2 - 12x + 9$$.
2. Приравняем производную к нулю: $$3x^2 - 12x + 9 = 0$$.
3. Разделим уравнение на 3: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$.
4. Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$.
5. Получаем два корня: $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ и $$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$.
6. Проверим, входят ли эти точки в промежуток $$[-\frac{6}{5}; 2]$$. Точка $$x_1 = 3$$ не входит в данный промежуток, а точка $$x_2 = 1$$ входит.
7. Определим знаки производной на промежутках $$[-\frac{6}{5}; 1)$$ и $$(1; 2]$$.
   • Возьмём точку $$x = 0$$ из промежутка $$[-\frac{6}{5}; 1)$$. $$y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 12 \cdot 0 + 9 = 9 > 0$$, значит, функция возрастает.
   • Возьмём точку $$x = 1.5$$ из промежутка $$(1; 2]$$. $$y'(1.5) = 3 \cdot (1.5)^2 - 12 \cdot 1.5 + 9 = 3 \cdot 2.25 - 18 + 9 = 6.75 - 9 = -2.25 < 0$$, значит, функция убывает.
8. Таким образом, в точке $$x = 1$$ функция меняет возрастание на убывание, следовательно, это точка максимума.
9. Вычислим значение функции в точке $$x = 1$$: $$y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 3 = 1 - 6 + 9 + 3 = 7$$.
10. Также необходимо проверить значения функции на концах отрезка: $$x = -\frac{6}{5}$$ и $$x = 2$$.
    • $$y(-\frac{6}{5}) = (-\frac{6}{5})^3 - 6(-\frac{6}{5})^2 + 9(-\frac{6}{5}) + 3 = -\frac{216}{125} - 6(\frac{36}{25}) - \frac{54}{5} + 3 = -1.728 - 8.64 - 10.8 + 3 = -18.168$$.
    • $$y(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 + 3 = 8 - 24 + 18 + 3 = 5$$.

Ответ: Точка максимума x = 1, y(1) = 7. Концы отрезка: (-6/5; -18.168), (2; 5)