19. Решите систему уравнений {x +y= 6 (log₄x + log₄y = -3

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^{-\frac{1}{2}} + y^{-\frac{1}{2}} = 6 \\ \log_4{x} + \log_4{y} = -3 \end{cases}$$

1. Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов: $$\log_4{x} + \log_4{y} = \log_4{(xy)} = -3$$ Следовательно, $$xy = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$$.
2. Выразим y из уравнения xy = 1/64: $$y = \frac{1}{64x}$$.
3. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^{-\frac{1}{2}} + (\frac{1}{64x})^{-\frac{1}{2}} = 6$$
4. Упростим: $$\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{64x} = 6$$
   $$\frac{1}{\sqrt{x}} + 8\sqrt{x} = 6$$
5. Умножим обе части уравнения на $$\sqrt{x}$$: $$1 + 8x = 6\sqrt{x}$$
   $$8x - 6\sqrt{x} + 1 = 0$$
6. Сделаем замену $$t = \sqrt{x}$$, тогда $$x = t^2$$: $$8t^2 - 6t + 1 = 0$$
7. Решим квадратное уравнение относительно t:
   $$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{16} = \frac{6 \pm 2}{16}$$
   $$t_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$
   $$t_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$
8. Теперь найдем значения x:
   $$x_1 = t_1^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$$
   $$x_2 = t_2^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$
9. Найдём значения y для каждого x:
   $$y_1 = \frac{1}{64x_1} = \frac{1}{64 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{16}$$
   $$y_2 = \frac{1}{64x_2} = \frac{1}{64 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{64}{16}} = \frac{1}{4}$$

Ответ: (1/4; 1/16), (1/16; 1/4)