16. Решить уравнение (3х – х² - 2)√7x + 4 = 0

Для решения уравнения необходимо рассмотреть два случая: когда один из множителей равен нулю.

1. Первый случай: $$3x - x^2 - 2 = 0$$.
   Умножим на -1: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$.
   Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$.
   Получаем два корня: $$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ и $$x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$.
2. Второй случай: $$\sqrt{7x + 4} = 0$$.
   Возведём обе части уравнения в квадрат: $$7x + 4 = 0$$.
   Решим линейное уравнение: $$7x = -4$$, $$x = -\frac{4}{7}$$.
3. Теперь необходимо проверить, являются ли найденные корни решениями исходного уравнения. Подставим каждый корень в исходное уравнение:
   • Для $$x = 2$$: $$(3 \cdot 2 - 2^2 - 2)\sqrt{7 \cdot 2 + 4} = (6 - 4 - 2)\sqrt{14 + 4} = 0 \cdot \sqrt{18} = 0$$. Значит, $$x = 2$$ - решение.
   • Для $$x = 1$$: $$(3 \cdot 1 - 1^2 - 2)\sqrt{7 \cdot 1 + 4} = (3 - 1 - 2)\sqrt{7 + 4} = 0 \cdot \sqrt{11} = 0$$. Значит, $$x = 1$$ - решение.
   • Для $$x = -\frac{4}{7}$$: $$(3(-\frac{4}{7}) - (-\frac{4}{7})^2 - 2)\sqrt{7(-\frac{4}{7}) + 4} = (-\frac{12}{7} - \frac{16}{49} - 2)\sqrt{-4 + 4} = (-\frac{12}{7} - \frac{16}{49} - 2) \cdot 0 = 0$$. Значит, $$x = -\frac{4}{7}$$ - решение.

Ответ: x = 2, x = 1, x = -4/7