17. Сторона квадрата ABCD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, < ABM = 30°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD.

Для решения задачи необходимо построить чертёж и использовать знания геометрии.

1. Поскольку AM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то треугольник ABM - прямоугольный с углом ABM = 30°.
2. Найдём длину отрезка AM. Из прямоугольного треугольника ABM: $$AM = AB \cdot \tan{\angle ABM} = 1 \cdot \tan{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
3. Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Так как квадрат имеет сторону 1 см, то диагональ BD равна $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ см.
4. Расстояние от точки A до прямой BD равно половине диагонали квадрата, то есть $$AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOA. MO - искомое расстояние от точки M до прямой BD.
6. По теореме Пифагора: $$MO = \sqrt{AM^2 + AO^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 + 3}{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$.

Ответ: Расстояние от точки M до прямой BD равно $$\frac{\sqrt{30}}{6}$$ см.