15. Найдите все решения уравнения = , принадлежащие отрезку [-π; π].

Для решения тригонометрического уравнения необходимо упростить уравнение и найти его корни, принадлежащие заданному отрезку.

1. Упростим уравнение: $$\frac{3\sin{x} + \cos{x}}{\cos{x} + 5\sin{x}} = \frac{1}{2}$$.
2. Перемножим крест-накрест: $$2(3\sin{x} + \cos{x}) = 1(\cos{x} + 5\sin{x})$$.
3. Раскроем скобки: $$6\sin{x} + 2\cos{x} = \cos{x} + 5\sin{x}$$.
4. Перенесём все члены в одну сторону: $$6\sin{x} - 5\sin{x} + 2\cos{x} - \cos{x} = 0$$.
5. Упростим: $$\sin{x} + \cos{x} = 0$$.
6. Разделим обе части уравнения на $$\cos{x}$$ (при условии, что $$\cos{x}
   eq 0$$): $$\frac{\sin{x}}{\cos{x}} + 1 = 0$$.
7. Получим: $$\tan{x} = -1$$.
8. Решения уравнения $$\tan{x} = -1$$ имеют вид: $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$$, где k - целое число.
9. Теперь нужно найти все решения, принадлежащие отрезку $$[-\pi; \pi]$$.
   • При $$k = 0$$: $$x = -\frac{\pi}{4}$$, что принадлежит отрезку.
   • При $$k = 1$$: $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$$, что принадлежит отрезку.
   • При $$k = -1$$: $$x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$$, что не принадлежит отрезку.

Ответ: $$x = -\frac{\pi}{4}$$, $$x = \frac{3\pi}{4}$$