7. Найдите угол ACID, прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 13, AD = 12, АА₁ = 5. Дайте ответ в гра- дусах.

1) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Необходимо найти угол $$AC_1D_1$$.

2) Рассмотрим прямоугольник $$ADD_1A_1$$.

По теореме Пифагора $$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$$.

Так как $$AD = 12$$ и $$DD_1 = AA_1 = 5$$, то

$$AD_1^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$;

$$AD_1 = \sqrt{169} = 13$$.

3) Рассмотрим прямоугольник $$ABB_1A_1$$.

По теореме Пифагора $$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$$.

Так как $$AB = 13$$ и $$BB_1 = AA_1 = 5$$, то

$$AB_1^2 = 13^2 + 5^2 = 169 + 25 = 194$$;

$$AB_1 = \sqrt{194}$$.

4) Рассмотрим прямоугольник $$ABC_1D_1$$.

По теореме Пифагора $$AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2$$.

Так как $$AB = 13$$, $$BC = AD = 12$$ и $$CC_1 = AA_1 = 5$$, то

$$AC_1^2 = 13^2 + 12^2 + 5^2 = 169 + 144 + 25 = 338$$;

$$AC_1 = \sqrt{338}$$.

5) Рассмотрим треугольник $$AC_1D_1$$.

По теореме косинусов $$AC_1^2 = AD_1^2 + C_1D_1^2 - 2 \cdot AD_1 \cdot C_1D_1 \cdot cos\angle AD_1C_1$$.

Так как $$AC_1 = \sqrt{338}$$, $$AD_1 = 13$$ и $$C_1D_1 = AB = 13$$, то

$$338 = 169 + 169 - 2 \cdot 13 \cdot 13 \cdot cos\angle AD_1C_1$$;

$$338 = 338 - 338 \cdot cos\angle AD_1C_1$$;

$$cos\angle AD_1C_1 = 0$$;

$$\angle AD_1C_1 = 90^\circ$$.

Ответ: 90