12. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: АВ = 9, AD= 12, АА₁ = 26. Найдите синус угла между прямыми CD и А1С1.

1) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Найдем синус угла между прямыми $$CD$$ и $$A_1C_1$$.

2) Так как прямые $$CD$$ и $$A_1C_1$$ - параллельные, то угол между ними равен углу между прямыми $$CD$$ и $$DC_1$$, который равен углу $$C_1CD$$.

3) Рассмотрим прямоугольник $$CDD_1C_1$$.

$$CD = AB = 9$$ и $$DD_1 = AA_1 = 26$$.

4) Синус угла $$C_1CD$$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть

$$sin\angle C_1CD = \frac{DD_1}{DC_1}$$.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CDD_1$$.

По теореме Пифагора $$DC_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$.

$$DC_1^2 = 9^2 + 26^2 = 81 + 676 = 757$$;

$$DC_1 = \sqrt{757}$$.

6) $$sin\angle C_1CD = \frac{26}{\sqrt{757}} = \frac{26\sqrt{757}}{757}$$.

Ответ: $$\frac{26\sqrt{757}}{757}$$