Найдите все значения х, при которых значения выражений -9х+ 1; x+2; 15 + 7х² являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того, чтобы три числа a, b и c являлись последовательными членами арифметической прогрессии, должно выполняться условие: $$2b = a + c$$. В нашем случае a = -9x^2 + 1, b = x + 2, c = 15 + 7x^2.

1. Подставим в условие: $$2(x + 2) = -9x^2 + 1 + 15 + 7x^2$$.
2. Упростим уравнение: $$2x + 4 = -2x^2 + 16$$.
3. Перенесем все в левую часть: $$2x^2 + 2x - 12 = 0$$.
4. Разделим на 2: $$x^2 + x - 6 = 0$$.
5. Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-1 pm \sqrt{1^2 - 4 vertimes 1 vertimes (-6)}}{2 vertimes 1} = \frac{-1 pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 pm 5}{2}$$.
6. Получаем два корня: $$x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$, $$x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$.

Ответ: x = 2, x = -3