Найдите все значениях, при которых значения выражений х- 4; √6x; х + 12 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Чтобы три числа a, b и c являлись последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться условие: $$b^2 = a vertimes c$$. В нашем случае a = x - 4, b = √6x, c = x + 12.

1. Подставим в условие: $$(√6x)^2 = (x - 4)(x + 12)$$.
2. Упростим уравнение: $$6x = x^2 + 12x - 4x - 48$$.
3. Перенесем все в левую часть: $$x^2 + 12x - 4x - 48 - 6x = 0$$, или $$x^2 + 2x - 48 = 0$$.
4. Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-2 pm \sqrt{2^2 - 4 vertimes 1 vertimes (-48)}}{2 vertimes 1} = \frac{-2 pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 pm 14}{2}$$.
5. Получаем два корня: $$x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$, $$x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$.
6. Проверим корни:
   • x = 6: a = 6 - 4 = 2, b = √36 = 6, c = 6 + 12 = 18. Прогрессия: 2, 6, 18. $$6^2 = 36$$, $$2 vertimes 18 = 36$$. Условие выполняется.
   • x = -8: a = -8 - 4 = -12, b = √(-48). Квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом.

Ответ: x = 6