9. Найдите значение выражения \frac{a^{19}.(b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}} при а=2, b= √2.

9. Найдите значение выражения $$\frac{a^{19} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}$$ при $$a=2$$, $$b=\sqrt{2}$$.

Для решения данного задания, необходимо воспользоваться свойствами степеней:

1. $$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$, то есть при возведении степени в степень показатели перемножаются.
2. $$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$, то есть при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
3. $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$, то есть степень произведения равна произведению степеней.
4. $$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$, то есть при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

Тогда исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

$$\frac{a^{19} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}} = \frac{a^{19} \cdot b^{4 \cdot 3}}{a^{12} \cdot b^{12}} = \frac{a^{19} \cdot b^{12}}{a^{12} \cdot b^{12}} = a^{19-12} \cdot b^{12-12} = a^7 \cdot b^0 = a^7 \cdot 1 = a^7$$

Теперь подставим значение $$a=2$$ в полученное выражение:

$$a^7 = 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 \cdot 4 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$$

Ответ: 128