4. Найдите значение выражения 3π √2cos2 - √2sin23.

Найдем значение выражения $$\sqrt{2cos^2\frac{3\pi}{8}} - \sqrt{2sin^2\frac{3\pi}{8}}$$.

$$\sqrt{2cos^2\frac{3\pi}{8}} - \sqrt{2sin^2\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{2} |cos\frac{3\pi}{8}| - \sqrt{2} |sin\frac{3\pi}{8}|$$.

Так как $$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{8} < \pi$$, то $$\frac{3\pi}{8}$$ находится во второй четверти, где cos < 0, sin > 0.

Поэтому |cos$$\frac{3\pi}{8}$$| = -cos$$\frac{3\pi}{8}$$ и |sin$$\frac{3\pi}{8}$$| = sin$$\frac{3\pi}{8}$$.

Тогда $$\sqrt{2} |cos\frac{3\pi}{8}| - \sqrt{2} |sin\frac{3\pi}{8}| = -\sqrt{2} cos\frac{3\pi}{8} - \sqrt{2} sin\frac{3\pi}{8} = -\sqrt{2} (cos\frac{3\pi}{8} + sin\frac{3\pi}{8})$$.

Введем вспомогательный угол $$\varphi$$, чтобы получить формулу синуса суммы: cos$$\frac{3\pi}{8}$$ + sin$$\frac{3\pi}{8}$$ = A sin($$\frac{3\pi}{8}$$ + $$\varphi$$).

Для этого A cos$$\varphi$$ = 1 и A sin$$\varphi$$ = 1, откуда tg$$\varphi$$ = 1 и $$\varphi$$ = $$\frac{\pi}{4}$$.

Тогда A = $$\frac{1}{cos\varphi}$$ = $$\frac{1}{cos\frac{\pi}{4}}$$ = $$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ = $$\frac{2}{\sqrt{2}}$$ = $$\sqrt{2}$$.

Значит, cos$$\frac{3\pi}{8}$$ + sin$$\frac{3\pi}{8}$$ = $$\sqrt{2}$$ sin($$\frac{3\pi}{8}$$ + $$\frac{\pi}{4}$$) = $$\sqrt{2}$$ sin($$\frac{3\pi + 2\pi}{8}$$) = $$\sqrt{2}$$ sin$$\frac{5\pi}{8}$$.

Исходное выражение равно -$$\sqrt{2}$$ × $$\sqrt{2}$$ sin$$\frac{5\pi}{8}$$ = -2 sin$$\frac{5\pi}{8}$$.

Заметим, что $$\frac{5\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$$. Тогда sin$$\frac{5\pi}{8}$$ = sin($$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$$) = cos$$\frac{\pi}{8}$$.

Нам нужно найти cos$$\frac{\pi}{8}$$. Мы знаем, что cos(2x) = 2cos²x - 1, поэтому cosx = $$\sqrt{\frac{1+cos(2x)}{2}}$$.

cos$$\frac{\pi}{8}$$ = $$\sqrt{\frac{1+cos(\frac{\pi}{4})}{2}}$$ = $$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$ = $$\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}$$ = $$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$.

Значит, -2 sin$$\frac{5\pi}{8}$$ = -2 cos$$\frac{\pi}{8}$$ = -2 × $$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$ = -$$\sqrt{2+\sqrt{2}}$$.

Ответ: -$$\sqrt{2+\sqrt{2}}$$.