Найдите значение выражения: $$2 \log_{10} \sqrt{15} + 0,5 \log_{10} 144 - \log_{10} 6$$

Решение:

1. Используем свойство логарифма $$n \log_b a = \log_b a^n$$:
   $$2 \log_{10} \sqrt{15} = \log_{10} (\sqrt{15})^2 = \log_{10} 15$$.
2. $$0.5 \log_{10} 144 = \frac{1}{2} \log_{10} 144 = \log_{10} 144^{1/2} = \log_{10} \sqrt{144} = \log_{10} 12$$.
3. Теперь выражение выглядит так: $$\log_{10} 15 + \log_{10} 12 - \log_{10} 6$$.
4. Используем свойство суммы логарифмов $$\log_b x + \log_b y = \log_b (x \cdot y)$$:
   $$\log_{10} (15 \cdot 12) - \log_{10} 6 = \log_{10} 180 - \log_{10} 6$$.
5. Используем свойство разности логарифмов $$\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$$:
   $$\log_{10} \frac{180}{6} = \log_{10} 30$$.

Ответ: $$\log_{10} 30$$.