Упростите выражение: при a > 0, b > 0; $$\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b^2}}\cdot \frac{a^{1/2}}{b^{-1/4}}$$

Решение:

1. Перепишем корни и степени в виде дробей: $$\frac{a^{1/4}}{b^{2/4}} \cdot \frac{a^{1/2}}{b^{-1/4}} = \frac{a^{1/4}}{b^{1/2}} \cdot \frac{a^{1/2}}{b^{-1/4}}$$.
2. Сгруппируем основания: $$\frac{a^{1/4} \cdot a^{1/2}}{b^{1/2} \cdot b^{-1/4}}$$.
3. Сложим степени с одинаковыми основаниями: $$a^{1/4+1/2} = a^{1/4+2/4} = a^{3/4}$$.
4. $$b^{1/2+(-1/4)} = b^{1/2-1/4} = b^{2/4-1/4} = b^{1/4}$$.
5. Объединим полученные степени: $$\frac{a^{3/4}}{b^{1/4}}$$.
6. Представим результат в виде корня: $$\left(\frac{a^3}{b}\right)^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{a^3}{b}}$$.

Ответ: $$\sqrt[4]{\frac{a^3}{b}}$$.