Вычислите: $$2^{-3} \cdot 64^2 : 64^3 \cdot 2^{-4}$$

Решение:

1. Перепишем степени с отрицательными показателями: $$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$$ и $$2^{-4} = \frac{1}{2^4}$$.
2. Выражение будет: $$\frac{1}{2^3} \cdot 64^2 : 64^3 \cdot \frac{1}{2^4}$$.
3. Сначала выполним деление: $$64^2 : 64^3 = \frac{64^2}{64^3} = \frac{1}{64}$$.
4. Теперь выражение: $$\frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{2^4}$$.
5. Заменим 64 как степень 2: $$64 = 2^6$$.
6. Выражение: $$\frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{2^6} \cdot \frac{1}{2^4}$$.
7. Сложим степени в знаменателе: $$2^{3+6+4} = 2^{13}$$.
8. Получаем: $$\frac{1}{2^{13}}$$.
9. Вычислим $$2^{13}$$: $$2^{10} = 1024$$, $$2^{11} = 2048$$, $$2^{12} = 4096$$, $$2^{13} = 8192$$.

Ответ: $$\frac{1}{8192}$$.