Найдите значение выражения $$3\sqrt{2} \cos^2 \frac{9\pi}{8} - 3\sqrt{2} \sin^2 \frac{9\pi}{8}$$

Пошаговое решение:

1. Вынесем общий множитель \( 3\sqrt{2} \) за скобки: \( 3\sqrt{2} \left( \cos^2 \frac{9\pi}{8} - \sin^2 \frac{9\pi}{8} \right) \).
2. Применим формулу косинуса двойного угла: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) \). В нашем случае \( \alpha = \frac{9\pi}{8} \).
3. Тогда \( \cos^2 \frac{9\pi}{8} - \sin^2 \frac{9\pi}{8} = \cos \left( 2 \cdot \frac{9\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{9\pi}{4} \right) \).
4. Найдем значение \( \cos \left( \frac{9\pi}{4} \right) \). Период косинуса равен \( 2\pi \). \( \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \).
5. Следовательно, \( \cos \left( \frac{9\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
6. Подставим найденное значение обратно в выражение: \( 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).
7. \( 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 3 \cdot \frac{2}{2} = 3 \cdot 1 = 3 \).

Ответ: 3