Найдите значение выражения $$\frac{14^4}{2^5 \cdot 7^3}$$

Чтобы найти значение этого выражения, разложим число 14 на простые множители и воспользуемся свойствами степеней.

1. Разложим 14 на простые множители:

\[ 14 = 2 \times 7 \]

2. Подставим это разложение в числитель выражения:

\[ 14^4 = (2 \times 7)^4 \]

3. Используем свойство степени произведения $$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$:

\[ (2 \times 7)^4 = 2^4 \times 7^4 \]

4. Теперь наше выражение выглядит так:

\[ \frac{2^4 \times 7^4}{2^5 \times 7^3} \]

5. Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:

\[ \frac{2^4}{2^5} = 2^{4-5} = 2^{-1} \]

\[ \frac{7^4}{7^3} = 7^{4-3} = 7^1 = 7 \]

6. Перепишем выражение с учетом полученных результатов:

\[ 2^{-1} \times 7^1 \]

7. Вспомним, что $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$, поэтому $$2^{-1} = \frac{1}{2}$$:

\[ \frac{1}{2} \times 7 \]

8. Вычислим окончательный результат:

\[ \frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2} = 3,5 \]

Ответ: 3,5