Найдите значение выражения \( \frac{18 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \).

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

В числителе выражения у нас есть \( \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ} \). Чтобы применить формулу, умножим и разделим числитель на 2:

\( \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ} = \frac{1}{2} (2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 40^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 80^{\circ} \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( \frac{18 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{18 \cdot \frac{1}{2} \sin 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \)

\( = \frac{9 \sin 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \)

Сократим \( \sin 80^{\circ} \) (так как \( \sin 80^{\circ} \neq 0 \)):

\( = 9 \)

Ответ: 9