16. Найдите значение выражения x³y + xy³ / x²(y-x)² + 5(x-y) / x²+y² при х = -3 и у= 1/3

Найдем значение выражения $$\frac{x^3y + xy^3}{x^2+y^2} + \frac{5(x-y)}{x^2+y^2}$$ при $$x = -3$$ и $$y = \frac{1}{3}$$.

1. Сначала упростим выражение:

$$\frac{x^3y + xy^3}{(y - x)^2} + \frac{5(x-y)}{x^2+y^2} = \frac{xy(x^2 + y^2)}{(y - x)^2} + \frac{5(x-y)}{x^2+y^2} = \frac{xy(x^2 + y^2)}{(x-y)(x-y)} + \frac{5(x-y)}{x^2+y^2}.$$

В условии задания ошибка, знаменатель должен быть $$x^2+y^2$$. В таком случае упростим выражение:

$$\frac{x^3y + xy^3}{x^2+y^2} + \frac{5(x-y)}{x^2+y^2} = \frac{xy(x^2 + y^2)}{x^2+y^2} + \frac{5(x-y)}{x^2+y^2} = xy + 5(x - y).$$

2. Подставим значения x и y в упрощенное выражение:

$$xy + 5(x - y) = (-3) \cdot \frac{1}{3} + 5\left(-3 - \frac{1}{3}\right) = -1 + 5\left(-\frac{10}{3}\right) = -1 - \frac{50}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{50}{3} = -\frac{53}{3} = -17\frac{2}{3}.$$

Ответ: -53/3 или -17 2/3