4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если \(\angle ABD = 30^\circ\), AD=36см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольник (ABCD), где (\angle ABD = 30^\circ\) и (AD=36) см. В прямоугольнике все углы прямые, поэтому \(\angle DAB = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник (ABD). Тангенс угла (ABD) равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т.е. (\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}\). Отсюда, (\tan(30^\circ) = \frac{36}{AB}\). Знаем, что \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Подставляем: \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{36}{AB}\) (AB = \frac{36 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{108}{\sqrt{3}} = \frac{108 \cdot \sqrt{3}}{3} = 36\sqrt{3}\) см. Теперь найдем диагональ (BD) по теореме Пифагора для треугольника (ABD): (BD^2 = AB^2 + AD^2). (BD^2 = (36\sqrt{3})^2 + 36^2 = 36^2 \cdot 3 + 36^2 = 36^2 (3 + 1) = 36^2 \cdot 4) (BD = \sqrt{36^2 \cdot 4} = 36 \cdot 2 = 72) см. Так как диагонали прямоугольника равны, то (AC = BD = 72) см. Ответ: Диагонали равны 72 см.